扈东今天很爽，看亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基被自已转懵了，想，赶紧痛打落水狗，踩他一脚，看他还敢不敢翻身。于是，笑容可躬地说道：“大人，我们老师一直教导我们，说：‘有教无类’，还说：‘诲人不倦’。所以，我再给大人你介绍一种我们哈佛新生经常玩的一种游戏，叫：‘帽子颜色问题’，我这里来解析一下这类问题：
如果，有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？
答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子。
如果我们把这个问题推广成如下的形式：
有若干种颜色的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色。
当然要假设一些条件：
1、首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。
2、有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在这个条件中的‘若干’不一定非要具体一一给出数字来。这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人也可以是有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人甚至连具体人数也可以不知道，
‘有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后──直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后。在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人’这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了。
3、剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子。
4、所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来。当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方。他们极其聪明，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来。相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看──不知为不知。
5、后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。
当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色。另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的。
但是下面这几题是合理的题目：
（1）、3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。
（2）、3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。
（3）、n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）。
（4）、1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，……，99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子，共5000个人。
（5）、有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人。
（6）、有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1。
大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题。
如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了。但是（3）中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处。
假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答‘知道’？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能──即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽。
现在假设最后那个人的回答是‘不知道’，那么轮到问倒数第二人。根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽──要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答‘知道’了。但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断──他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答‘知道’；他自然也有可能戴着黑帽。
这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头。最后那个人可以回答‘知道’当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答‘不知道’当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这就是所有帽子颜色问题的关键！
如果最后一个人回答‘不知道’，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上。这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：
‘在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。’
我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说‘不知道’，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽──只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。
这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了‘如果别人也使用相同的推理’这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险。但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理。稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：
‘如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜色的帽子。现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子。如果在我前面我见不到此颜色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子。’
当然第一个人的初始推理相当简单：‘队列中一定有人戴这种颜色的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了。’
对于题（1）事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子。
题（2）也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答‘知道’。
题（4）的规模大了一点，但是道理和（2）完全一样。100种颜色的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1+……+99=4950，所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜色的帽子。
至于（5）、（6）‘有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1’，原理完全相同，我就不具体分析了。
最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜色帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色。因为如果所有身后的人都回答‘不知道’的话，那个从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子。但是这并不是说在询问中一定是由他来回答‘知道’的，因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜色。比如说在题（2）中，如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向）
白白黑黑黑黑红红红白→
那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了。
尊敬的国师大人，你说说，我说明白了没有?”
亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基已经被扈东搞得神经衰弱了，崩溃了！我的什么题什么题，都是平时的积累，筛选出来后为难人的。好，这丫头，把每一种题目都作为一种类型进行研究比较，她把问题系统化了、理论化了、专业化了、题库化了，我确实是差远了。怎么办?我个人受辱事小，但累及国家声誉事大。我总得放手一搏，多少挣点面子回来。
事到情急处，怒从心头起，恶向胆边生。亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基在自已带来的队伍中看见了隐藏其中的小领主在向他打手势，意思是：文的不行，来武的！
亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基本质不算坏，自已也算是一方武学宗师，一国文武大师，现在，对人家一娇小文弱的小丫头动刀动枪，真是胜之不武啊，很犹豫。但亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基也很无奈，往自已的队伍看过去，小领主的神情显然已经很不耐烦，做着很极端的动作，在诅咒对面的小丫头：“破塔！泊露丝踢吐塔！（西班牙语：妓女）”。而看自已站着不动，小王子则用手势在骂他：“马里孔！（西班牙语：娘娘腔的男人）、衣门倍雪尔！（西班牙语：蠢材）……”
想想家人，亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基叹了口气，眼睛不敢对着扈东，自已望着天，有点心虚，面无表情地说道：“小姑娘，我们国家的规矩，要斗，一定要分出个子丑寅卯来，所以，我邀请你与我比武
亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基心想：这个聪明的小丫头，看着高高大大的我，一定会拒绝我。那样，我们可以认为，武比是我们赢了，就算文比输了，也是一输一赢，平局，还不错。不过，真有点不好意思，所以，不敢正视这小丫头。
扈东爽啊，前面那些惊才艳艳，都是王木木在幕后操纵，自已一知半解，傀儡地传着声，没把王木木的摩尔斯翻错已是大幸，自已心知肚明，那成功不是我的。现在好了，动武了，好久没下杀手了，今天可是能活动活动了。
王木木一看扈东上翘的嘴角，知道要坏事了，丫头在甩手，这是她在摩拳擦掌。唉，这丫头的手脚重着呐，自已是领教过的，所以，马上发信号：“不一定要比，你下来吧！唉，你摇头?不听话?好了，你就是想比，也不一定要去赢，能跟他周旋十几招我就算你赢了！穷寇勿追！输也没关系！安全第一！千万要小心自已！受伤我就骂你！拔你毛！小心了！晚上还要吃你做的酒酿圆子呐！”
亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基没想到小丫头会点头允他。
亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基还在纠结时，亚力山大?阿不杜拉?卡巴斯基的手下已经汇报了皇帝赵顼，并征得同意从外面拿来了一根挺吓人的狼牙棒。既然如此，王木木也要替扈东着想，赶紧让人去拿了把自已偷偷藏着的狙击弓和一组双刀，犹豫了半天，为了安全，把一套跟扈三娘一模一样的顶级铠甲也拿来了。
大草坪周围的人，包括皇上，都在扳手指，拍脑袋，在纠结刚才的一些问题：
“喂！尚书左仆射，那一元钱哪去了?”
“喂！尚书右仆射，我告诉你，这题目说难不难；说不难，却他缠人，顺着它的思路，头就晕。我儿子进哈佛了，他把这题目给我寄来了，看过答案，就觉得这很好理解了，这题关键之处是思维程序的误导，你要是按照他的逻辑3*9+2=29，那你就上了他的当了，应该是，30-5=25，这是老板得的，2文是店小二得的，然后另外3个书生又各得1文，这就是完整的25+2+3=30文钱。
如果这样你还不明白，那你可以这样理解：3个书生实际出了（10-1）*3=27文钱，然后老板留了25，店小二留了2个，在那个关键时刻，不是3*9加2不够30，而是3*9减2刚好等于老板得的25”
“喂！尚书左仆射，那么那十文钱去哪了?”
“喂！将军，这后一题和前一题是一个类型，你要这样想：把鞋卖了，加手里10元，凑够980元，正好还老爹老妈钱
“喂！侍郎，你难道还没有猪聪明?”
“喂！侍郎，这题我进哈佛的儿子也给我说过：‘二人合一大碗饭，三人合一大碗汤，四人合一大碗肉’，无论分饭、分汤、分肉，都没有零头，可见人数同时是2的倍数、3的倍数和4的倍数。三个数2、3、4的最小公倍数是12。如果把每12个人编成1组，那么从12÷2=6，12÷3=4，12÷4=3，知道每1组要供应6大碗饭、4大碗汤、3大碗肉，因而每组所用大碗的个数是6+4+3=13。共用碗65个，而65÷13=5，所以共有5组客人，总人数是12x5=60。
虽然这位女子不肯直接了当地说出家中情况，通过计算，还是知道了她家来了60位客人。
这道题也可换一种思路，不是编排大组，而是包干到人。‘二人合一大碗饭，三人合一大碗汤，四人合一大碗肉’，平均分配，每1个人能分到几大碗饭？几大碗汤？几大碗肉？每1个人共计分用几个大碗？
利用分数，容易算出每1个人分用的大碗个数是用大碗总数除以每人所用大碗数，同样得到客人总数是60人”
“喂！郎中，那么什么叫等边三角形啊?”
“喂！少卿，你戴的是白帽子?黑帽子?红帽子?绿帽子?……”。“去你的！你才戴绿帽子呐！”
“喂！库藏署令，为什么是放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光啊?”
“喂！尚书，那个正方形的城堡怎么守啊?”
“喂！参知政事，怎么文比一下子变成武比了呐?”
“喂！员外郎，大宋怎么能让一个文文弱弱的小女子去跟这么凶相的胡人比呐?那么你去?你去?你们谁也不敢去，是只能让这小丫头在杠头上顶着了
“喂！中书舍人，快看！吓人啊，这胡人的狼牙棒肯定一百斤开外了，舞起来，只要擦着一点点，必定是皮破肉绽，甚至是筋断骨折，一命呜呼了
“喂！冠军大将军，注意！这胡人的大白袍好大，难道他这白袍像变古彩戏法用的大袍一样，袍子里有什么古怪?”
“喂！观文殿学士，你们看！你们看！快看！快看！看这个小丫头！穿的是什么铠甲呀?你们看那铠甲的造型，完全是合着人体的结构打造的；你们看那铠甲的表面，金光锃亮的，闪耀夺目；你们看那铠甲上的装饰，三叉星，捷豹头，完全是具精美的艺术品啊！……”。“你这是什么眼光啊?说这是艺术品?可真是糟蹋了它了，多么强悍的护卫啊，又妥帖，又灵活，神器啊，你们谁曾看见过啊?”
“喂！金紫光禄大夫，这小丫头穿着这身机甲装，真是别有一番风味，跟我们平时看见的莺莺燕燕完全两种味，好让人想一探究竟啊
“喂！正奉大夫，看！两人互施一礼了！那就是说，要开打了?”
“喂！银青光禄大夫，看那小姑娘，应该是耍双刀的，这双刀难耍，看来，这小姑娘能应下对方的挑战，也是有点儿斤两的
“喂！左右散骑常侍，看清楚没有?这小姑娘双刀别在腰后，手里拿着一把小弓，干吗呀?人家冲过来，你这小弓小箭的，人家就是中了三二箭，摒一下，冲过来，狼牙棒一砸，不是死路一条?”
“喂！敷文阁直学士，你看看清楚，这小姑娘的弓确实不大，但看上去却是非常的复杂。人家的弓，一根弦；她的弓，好像弯来弯去有好多根弦，弓有几根弦怎样用?想不明白
“喂！尚书列曹侍郎，你还喂什么喂?看！两人转圈了，快动手了。你说，谁会赢?”
“喂！保和殿大学士，赌一把?一赔八?”
……
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